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已知函数,其中

(Ⅰ)若的最小值为,试判断函数的零点个数,并说明理由;

(Ⅱ)若函数的极小值大于零,求的取值范围.

 

【答案】

(I)函数的零点个数有3个;(Ⅱ) 

【解析】

试题分析:(I)为确定函数零点的个数,可通过研究函数图象的形态、函数的单调性完成,具体遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.

 (Ⅱ)  为确定函数的极值,往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.

本小题利用“表解法”,形象直观,易于理解.为使满足,从而得到.

试题解析:

(I),        1分

时,有最小值为

所以,即,        2分

因为,所以,        3分

所以

所以上是减函数,在上是增函数,        4分

,        5分

故函数的零点个数有3个;        6分

(Ⅱ)  ,得,        7分

,根据(I),当变化时,的符号及的变化情况如下表:

  

0

0

0

极大值

极小值

因此,函数处取得极小值,        9分

要使,必有可得,        10分

所以的取值范围是    .    12分

考点:应用导数研究函数的单调性、极值,三角函数的图象和性质.

 

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