Question

已知函数.
（1）证明：；
（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，因为，所求证，所以只需分母即可，设函数，对求导，判断函数的单调性，求出最小值，证明最小值大于0即可，所求证的不等式的右边，需证明函数的最大值为1即可，对求导，判断单调性求最大值；第二问，结合第一问的结论，讨论的正负，当时，，而与矛盾，当时，当时，与矛盾，当时，分母去分母，等价于，设出新函数，需要讨论的情况，判断在每种情况下，是否大于0，综合上述所有情况，写出符合题意的的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）设，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
又，故．           2分

当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．
综上，有．           5分
（Ⅱ）（1）若，则时，，不等式不成立．  6分
（2）若，则当时，，不等式不成立．  7分
（3）若，则等价于．  ①
设，则．
若，则当，，单调递增，． 9分
若，则当，，单调递减，．
于是，若，不等式①成立当且仅当．      11分
综上，的取值范围是．