Question

对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得对任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=sinx；③f（x）=

x2-1

．
其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有

 

（写出所有正确的序号）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义

分析：对于①，只需考虑反比例函数在[1，+∞）上的值域即可；
对于②，要分别考虑函数的值域和图象性质；
对于③，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可．

解答： 解：对于①，当x∈[1，+∞）时，0＜

1

x

≤1，
故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，
两条直线可取y=0，y=1；
对于②，当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，
故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞）时，f（x）=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，
双曲线的渐近线为y=x，
故可取另一直线为y=x-2，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
∴在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③
故答案为：①③

点评：本题考察了新定义的题目，根据函数的性质，判断求解，难度不大，关键是确定2条直线即可．