Question

5．求下列函数的最值：
（1）y=x-$\sqrt{1-2x}$∈（-∞，$\frac{1}{2}$]
（2）y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$∈[2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 （1）先设$\sqrt{1-2x}$=t，得到关于t的二次函数，再由二次函数的值域求法可得最大值；
（2）运用两边平方，再由配方，结合二次函数的值域求法，即可得到所求值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{1-2x}$=t（t≥0），
则x=$\frac{1}{2}$（1-t²），
y=$\frac{1}{2}$（1-t²）-t
=-$\frac{1}{2}$（t+1）²+1，
当t=0，即x=$\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{1}{2}$．
则函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$，（y＞0）
两边平方可得y²=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$
=4+2$\sqrt{4-（x+1）^{2}}$，
由0≤$\sqrt{4-（x+1）^{2}}$≤2，
可得4≤y²≤8，
可得2≤y≤2$\sqrt{2}$，
则函数的值域为[2，2$\sqrt{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]；[2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数的值域的求法，注意运用二次函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．