Question

已知椭圆C₁的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为

5

3

，且经过点M(

3

，

3

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C₂的长轴和短轴都分别是椭圆C₁的长轴和短轴的m倍（m＞1），中心在原点，焦点在y轴上．过点C（-1，0）的直线l与椭圆C₂交于A、B两个不同的点，若

AC

=2

CB

，求△OAB的面积取得最大值时的直线的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1，由e=

5

3

及椭圆过M（

3

，

3

2

）可得a，b之间的关系，从而可求a，b，进而可求椭圆的方程
（Ⅱ），设椭圆C₂的方程为

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由m＞1知点C（-1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点，当直线l垂直与x轴时，不合条件．
故设直线l为y=k（x+1）（A、B、O三点不共线，故k≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂…（从而可求y₂，而△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|，代入利用基本不等式可求面积的最大值及k

解答：解：（I）设椭圆C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1
∵e=

5

3

∴4a²=9b²
∵椭圆过M（

3

，

3

2

）
∴

9

4a2

+

3

b2

=1
∴b²=4，a²=9
∴椭圆的方程

y2

9

+

x2

4

=1（6分）
（Ⅱ），设椭圆C₂的方程为

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．…（7分）
∵m＞1
∴点C（-1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点
当直线l垂直与x轴时，

AC

=

CB

（不是零向量），不合条件．
故设直线l为y=k（x+1）（A、B、O三点不共线，故k≠0）…（8分）
由

y=k(x+1) 4y2+9x2=36m2

得(

9

k2

+4)y2-

18

k

y+9-36m2=0∴y1+y2=

18k

9+4k2

…（9分）
∵

AC

=2

CB

，而点C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
∴y₁=-2y₂…（10分）
∴y2=

-18k

9+4k2

．
于是，△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|=

27|k|

9+4k2

=

27

9 |k| +4|k|

≤

27

2 36

=

9

4

．
其中，上式取等号的条件是k2=

9

4

，即k=±

3

2

时，△OAB的面积取得最大值．
所以直线的方程为y=

3

2

(x+1)或y=-

3

2

(x+1)…（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及利用基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．