【题目】已知抛物线:,不过坐标原点的直线交于,两点.
(Ⅰ)若,证明:直线过定点;
(Ⅱ)设过且与相切的直线为,过且与相切的直线为.当与交于点时,求的方程.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题设,.
(Ⅰ)设直线的方程为,联立方程组,得到则,再由,
所以,代入求得,即可判定直线过定点.
(Ⅱ)解法一:设直线的方程为,联立方程组,利用,求得,
得到韦达定理,在利用斜率公式,求得直线的斜率,进而得到直线的方程;
解法二:由,则过且与相切的直线的斜率为,的斜率为,转化为方程的两个实根,求得的值,进而求解直线的方程;
解法三:由,则过且与相切的直线的斜率为,同理,的斜率为.
得到切线,的方程,代入点,得,,即可得到直线的方程.
试题解析:
设,.
(Ⅰ)解:显然直线的斜率存在,设为,直线的方程为.由题意,.
由,得.
由题意,该方程的判别式,即.
则,.
因为,所以,所以,
即,即 .
所以.
所以.解得(舍去),或.
当时,,满足式.
所以直线的方程为.直线过定点.
(Ⅱ)解法一:过点且与:相切的直线的斜率必存在,设其斜率为,则其方程为,即.
由消去并整理得.
由判别式,解得.
不妨设的斜率,则的斜率.
由韦达定理,得,即.
.所以.
同理可得.
直线的方程为 ,
即直线的方程为.
解法二:,所以过且与相切的直线的斜率为.
同理,的斜率为.
:,即:.同理:.
因为与的交点的坐标为方程组的解,
所以,且.
所以方程,即的两个实根是,.
由,解得,.
又点,在:上,可得,.
直线的方程为 ,
即直线的方程为.
解法三:,所以过且与相切的直线的斜率为.同理,的斜率为.
所以,切线:,即.
又是抛物线上的点,所以,即.
故切线的方程为.同理切线的方程为.
又切线与切线均过点,故,.
所以切点、的坐标适合方程.所以的方程为.
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【题目】已知圆:关于直线:对称的圆为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线与圆交于,两点,是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形(和为对角线)中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的上顶点为,且过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点,当直线的斜率之积是不为0的定值时,求此时的面积的最大值.
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【题目】设函数(,,,)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合;
(3)将函数图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的()倍,得到函数的图象.若函数在区间上恰有5个零点,求t的取值范围.
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【题目】已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,若先把函数的图象向左平移个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.
(1)求函数与的解析式;
(2)设函数,试判断在内的零点个数.
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【题目】某公司生产某种产品的速度为千克/小时,每小时可获得的利润是元,其中.
(1)要使生产该产品每小时获得的利润为60元,求每小时生产多少千克?
(2)要使生产400千克该产品获得的利润最大,问:此公司每小时应生产多少千克产品?并求出最大利润.
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