分析 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),运用等差(比)数列的中项的性质,以及等差数列的通项公式,计算即可得到所求;
(2)求得bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$,由裂项相消求和即可得到所求和;
(3)cn=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$<$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,从数列{cn}的第三项放缩,即可得证.
解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a1+a3+a5=12,
∴3a3=12,∴a3=4.
∵a1,a5,a17成等比数列,
∴a52=a1a17,
∴(4+2d)2=(4-2d)(4+14d),
∵d≠0,解得d=1,
∴an=a3+(n-3)d=4+(n-3)=n+1;
∴数列{an}的通项公式为:an=n+1,n∈N*;
(2)bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$,
数列{bn}的前n项和为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2(n+2)}$;
(3)证明:cn=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$<$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
Tn=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{(n+1)^{2}}$<$\frac{13}{36}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{25}{36}$-$\frac{1}{n+1}$<$\frac{25}{36}$,
即有Tn<$\frac{25}{36}$.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项相消求和和“放缩法”证明不等式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
选修4-1 | 选修4-4 | 选修4-5 | |
甲班 | 15 | x | 10 |
乙班 | 10 | 25 | y |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com