Question

设幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点（

2

，2）．
（1）求a，k的值；
（2）若函数h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b在[0，1]上的最大值为2，求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）由幂函数的定义知a-1=1，由f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点（

2

，2），知(

2

)k=2，由此能求出a，k．
（2）由（1）知f（x）=x²，由h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b，知h（x）=-x²+2bx+1-b=-（x-b）²+b²-b+1，x∈[0，1]，再由分类讨论思想能求出实数b的值．

解答：解：（1）∵幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点（

2

，2），
∴a-1=1，a=2．
(

2

)k=2，∴k=2．
（2）由（1）知f（x）=x²，
∵h(x)=-f(x)+2b

f(x)

+1-b，
∴h（x）=-x²+2bx+1-b=-（x-b）²+b²-b+1，x∈[0，1]，
当b≥1时，h_max=h（1）=b=2，
当0＜b＜1时，h_max=h（b）=b²-b+1=2，
∴b=

1± 5

2

（舍）．
当b≤0时，
h_max=h（0）=1-b=2，
∴b=-1．
综上：b=2或b=-1．

点评：本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法和分类讨论思想的灵活运用．