Question

2．已知函数f（x）的定义域是R，f′（x）是f（x）的导数．f（1）=-$\frac{5}{4}$，对?x∈R，有f′（x）≤-e（e=2.71828…是自然对数的底数）．不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²的解集是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x），求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²lnx+$\frac{5}{4}$x²，
则g′（x）=f′（x）-xlnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$x=f′（x）-xlnx+2x，
设h（x）=2x-xlnx，则h′（x）=2-lnx-1=1-lnx，
由h′（x）＞0得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得x＞e，
即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）=2e-e=e，
∵f′（x）≤-e，h（x）≤e，
∴f′（x）+h（x）≤-e+e=0，
即g′（x）=f′（x）-xlnx+2x≤0，
即g（x）在（0，+∞）上为减函数，
则当x=1时，g（1）=f（1）+$\frac{5}{4}$=-$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{4}$=0，
则不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），
则x＞1，
即不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²lnx-$\frac{5}{4}$x²的解集是（1，+∞），
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．