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在直角坐标系xoy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.则直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
分析:由已知中定点A1(-2,0),A2(2,0),和动点N1(0,m),N2(0,n)的坐标,利用两点式,可得直线A1N1的方程和直线A2N2的方程,两式相乘得y2=-
1
4
(mn)(x2-4),代入mn=3,整理后可得轨迹M的方程.
解答:解:∵定点A1(-2,0),A2(2,0),动点N1(0,m),N2(0,n),
则直线A1N1的方程为:y=
m
2
(x+2)…①
则直线A2N2的方程为:y=-
n
2
(x-2)…②
设Q(x,y)是直线A1N1与直线A2N2的交点
①×②得
y2=-
1
4
(mn)(x2-4)
由mn=3得
y2=-
3
4
(x2-4)
整理得
x2
4
+
y2
3
=1
∵N1(0,m),N2(0,n)均不与原点重合
故A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上
∴直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程为
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
故答案为:
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
点评:本题考查的知识点是与直线有关的动点轨迹方程,其中由已知求出直线A1N1的方程和直线A2N2的方程,并将两式相乘消去mn,是解答的关键,最后易忽略A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上.
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