Question

8．若方程lg（-x²+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）内有唯一解，则表示方程-x²+3x-m=3-x有两个相等的实根在（0，3）内，即△=0，或方程-x²+3x-m=3-x有两个不等的实根，其中一个在（0，3）内，即对应函数在（0，3）上存在一个零点，根据零点存在定理，构造关于m的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：由题意，方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）内有唯一解，
令f（x）=-x²+4x-m-3，
若方程-x²+3x-m=3-x在x∈（0，3）内有唯一解，
则f（0）•f（3）＜0，或△=16-4（m+3）=0，或m=1，
即（-m-3）（-m）＜0，或m=0，或m=1．
解得：-3＜m≤0或m=1．
经检验，m=1不合题意，
∴-3＜m≤0．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，解答时易忽略方程-x²+3x-m=3-x有两个相等的实根在（0，3）内，即△=0的情况．