Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析：（1）由已知中定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），根据对数函数的性质，易得y=log_ax（a＞1，x＞0），满足条件；
（2）根据f（xy）=f（x）+f（y），我们利用作差法，可以判断出f（x）在（0，+∞）上单调递增，而且求出f（4）=2，则可将不等式f（x）+f（x-3）≤2转化为一个一个关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案．

解答：解：（1）y=log_ax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x₁，x=x₂，则，∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得

x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0

，…（10分）             解得

-1≤x≤4 x＞3

，…（11分）
所以不等式的解集为{x|3＜x≤4}．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，抽象函数及其应用，其中在解答抽象函数时，使用的“凑”的思想是解答本题的关键，但解答（2）时，易忽略函数的定义域为（0，+∞），而错解为-1≤X≤4．