Question

已知：函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围

Answer 1

分析：（1）因为f'（3）=0得到a的值，确定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）=0求出x的值，在区间[1，a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f′（x）＞0，解得a≤

3

2

(x-

1

x

)，求出

3

2

(x-

1

x

)的最小值得到a的取值范围．

解答：解：（1）f'（3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f'（x）=3x²-8x-3，
令f′(x)=3x2-8x-3=0，则x=-

1

3

或x=3.
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
（2）f'（x）=3x²-2ax-3≥0∴x≥1∴a≤

3

2

(x-

1

x

)，
当x≥1时，

3

2

(x-

1

x

)是增函数，其最小值为

3

2

(1-1)=0，
∴a≤0．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．