Question

下列命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ则α+β＜

π

2

；
③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件；
④要得到函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位．
其中真命题的个数有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，推出f（x）在[0，1]上是减函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ），判断正误即可；
②若锐角α、β，利用 y=sinx在（0，

π

2

）上单调递增，满足cosα＞sinβ，判断α+β＜

π

2

的正误；
③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件；直接判断即可．
④求出将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位，得到的解析式判断正误即可．

解答：解：对于①：由题意知，f（x）在[0，1]上是减函数，又θ∈（

π

4

，

π

2

），∴sinθ＞cosθ．∴f（sinθ）＜f（cosθ）．故①错误；
对于②：锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（

π

2

-α）＞sinβ．
又0＜

π

2

-α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且y=sinx在（0，

π

2

）上单调递增，
∴

π

2

-α＞β，即α+β＜

π

2

．故②正确．
对于③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，正确；
过于④将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

4

个单位．得到函数y=cos（

x

2

-

π

8

）的图象，不正确；
故选B

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，函数的单调性，对称性，图象的平移等有关知识，考查计算能力，推理判断能力．