Question

若在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x₀．
（1）函数f（x）=

1

x

是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数f（x）=x²+2^x在（0，1）上有“飘移点”；
（3）若函数f（x）=lg（

a

x2+1

）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；
（2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；
（3）若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．

解答： 解：（1）假设函数f(x)=

1

x

有“飘移点”x₀，则

1

x0+1

=

1

x0

+1即x02+x0+1=0由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f(x)=

1

x

没有飘移点．                
（2）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），所以h（0）=-1，h（1）=2．所以h（0）h（1）＜0．
所以h(x)=0在(0，1)上至少有一实根x0，即函数f(x)=2x+x2有“飘移点”．
（3）若f(x)=1g(

a

x2+1

)在(0，+∞)上有飘移点x₀，
所以lg

a

(x0+1)2

=lg(

a

x02+1

)+lg

a

2

成立，即

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

•

a

2

整理得(2-a)x02-2ax0+2-2a=0，从而关于x的方程g（x）=（2-a）x²-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实数根x₀．
当a=2时，方程的根为-

1

2

，不符合要求，所以a＞0，
当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴x=

a

2-a

＞0，可知只需4a²-4（2-a）（2-2a）≥0，
所以3-

5

≤a≤3+

5

，即3-

5

≤a＜2．
所以a的范围是[3-

5

，2）．

点评：本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，要注意体会．