Question

已知函数y=，求：

（1）当x∈(0,+∞)时，函数的最大值；

（2）当x∈［2,+∞)时，函数的最大值.

Answer 1

思路点拨：求函数的最大值，可以根据函数的特点对函数解析式进行变形，本题由于分子是一次式，分母是二次式，所以可以变形为y=这种形式，然后根据均值定理和函数y=x+的单调性求得最大值；另一方面我们也可以把函数解析式转化成方程，然后根据方程有根的情况求得y的最大值.

解法一：把y=变形为y=，

（1）当x∈(0,+∞)时，由于x+≥2（当且仅当x=1时，取“=”），

∴y≤40（当且仅当x=1时，取“=”）,即y的最大值是40.

（2）当x∈［2,+∞)时，x+是x的增函数，∴当x=2时，x+取得最小值，因此，当x=2时y=取得最大值32.

解法二：由y=变形得yx²-80x+y=0.

(1)∵x∈(0,+∞)，因此方程yx²-80x+y=0的判别式Δ=80²-4y²≥0，

∴-40≤y≤40.当y=40时，代入方程yx²-80x+y=0可得x=1,适合x＞0,

∴y的最大值为40.（当x=1时取得）

（2）∵x∈［2,+∞)，

∴关于x的方程yx²-80x+y=0应该有不小于2的解，当且仅当方程yx²-80x+y=0的大根≥2（其中y大于0），解得0＜y≤32.

∴y的最大值为32（当x=2时取得，即把y=32代入方程yx²-80x+y=0求得x=2）.