Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，求使向量（2$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）与（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）的夹角是直角的λ的值．

Answer 1

分析 由题意求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，结合（2$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=0，展开后整理求得λ的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}$×1×cos45°=1，
再由（2$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=$2λ|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（{λ}^{2}-6）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3λ|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
得$2λ•（\sqrt{2}）^{2}+{λ}^{2}-6-3λ=0$，
即λ²+λ-6=0．
解得：λ=-3或λ=2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查一元二次方程的解法，属于中档题．