Question

设f（α）=sin^xα+cos^xα，x∈{n|n=2k，k∈N₊}，利用三角变换，估计f（α）在x=2，4，6时的取值情况，猜想对x取一般值时f（α）的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：可求得x=2，4，6时f（α）的值，的取值范围，利用归纳法可求得2k∈N*时f（α）的取值范围．
解答：解：x=2，f（α）=sin²α+cos²α=1，
x=4，f（α）=sin⁴α+cos⁴α
=（sin²α+cos²α）²-2sin²α•cos²α
=（1-sin²2α）∈[，1]，
x=6，f（α）=sin⁶α+cos⁶α
=（sin²α+cos²α）（（sin²α+cos²α）²-3sin²α•cos²α）
=（1-sin²2α）∈[，1]，
…
∴x=2k∈N^*时f（α）的取值范围是≤f（α）≤1．
故答案为：≤f（α）≤1．
点评：本题考查三角函数的最值，考查二倍角公式的应用，考查综合分析与应用的能力，属于难题．