Question

x的二次方程x²+z₁x+z₂+m=0中，z₁，z₂，m均是复数，且-4z₂=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α-β|=2，求|m|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：题目给出的是复系数一元二次方程，并且给出了，首先设出复数m，运用根与系数关系求出α+β及αβ，再借助|α-β|=2找出复数m所满足的关系，根据几何意义求|m|的最大值和最小值．
解答：解：设m=a+bi（a，b∈R）．则z₁²-4z₂-4m=16+20i-4a-4bi=4[（4-a）+（5-b）i]．
而|α-β|=2?|α-β|²=28?|（α-β）²|=28?|（α+β）²-4αβ|=28
??|（4-a）+（5-b）i|=7?（a-4）²+（b-5）²=7²，
即表示复数m的点在圆（a-4）²+（b-5）²=7²上，
该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7-．
点评：本题考查了复数相等的充要条件问题，考查了转化思想及数与形的结合，解答此题的关键是设出复数m，根据方程两根差的绝对值为列式，转化为复数m的实部和虚部所满足的关系．