Question

已知函数f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a_n）}是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），当k=

2

时，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式可求得f（a_n）=2n+2，继而可得a_n=k²ⁿ⁺²，易证

an+1

an

=k²（k＞0且k≠1，）从而可证数列{a_n}是等比数列；
（2）当k=

2

时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，于是S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①，2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，②利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（1）证明：由题意知f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_ka_n=2n+2，
∴a_n=k²ⁿ⁺²，
∴

an+1

an

=

k2(n+1)+2

k2n+2

=k²，
∵常数k＞0且k≠1，
∴k²为非零常数，
∴数列{a_n}是以k⁴为首项，k²为公比的等比数列．      
（2）由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
当k=

2

时，b_n=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²．
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①
2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，②
②-①，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-2³-（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²）+（n+1）•2ⁿ⁺³，
∴S_n=-2³-

23(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺³=n•2ⁿ⁺³．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与等比关系的确定，突出考查错位相减法求和，属于中档题．