Question

已知等比数列{a_n}共有m项 （ m≥3 ），且各项均为正数，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b_m=a_m，判断数列{a_n}前m项的和S_m与数列的前m项和T_m的大小并加以证明．

Answer 1

解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则1+q+q²=7，
∴q=2或q=-3
∵{a_n}的各项均为正数，∴q=2
所以a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1得
数列{b_n}是等差数列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，
而T_m=（b₁-）+（b₂-）+（b₃-）+…+（b_m-）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-
=m-=m=m•2^m-2
∵T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1
∴当m=3时，T₃-S₃=-1，∴T₃＜S₃．
∴当m≥4时，T_m＞S_m
分析：（1）根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．
（2）由a_n=2^n-1得，数列{b_n}是等差数列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，而T_m=（b₁-）+（b₂-）+（b₃-）+…+（b_m-）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-=m-=m=m•2^m-2，利用T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1，即可得到结论．
点评：本题考查等比数列的通项公式，考查数列的求和，同时考查作差法，大小比较，解题的关键是数列中基本量的运算，属于中档题．