Question

20．已知函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|x|（x≤5）}\\{（x-5）^{2}（x＞5）}\end{array}\right.$，函数φ（x）=m-h（5-x），其中m∈R，若函数：y=h（x）-φ（x）恰有4个零点，则m的取值范围是（　　）

• A． （5，+∞）∪{$\frac{19}{4}$}
• B． （$\frac{19}{4}$，5）
• C． （0，4）
• D． （-∞，$\frac{19}{4}$）

Answer 1

分析 化简函数h（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|5-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，从而可得m=h（x）+f（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+5，x＜0}\\{5，0≤x≤5}\\{{x}^{2}-11x+35，x＞5}\end{array}\right.$，函数的最小值为$\frac{19}{4}$，从而解得结论．

解答 解：∵函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|x|（x≤5）}\\{（x-5）^{2}（x＞5）}\end{array}\right.$，
∴h（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|5-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
令y=h（x）-φ（x）=h（x）+h（5-x）-m=0，
则m=h（x）+f（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+5，x＜0}\\{5，0≤x≤5}\\{{x}^{2}-11x+35，x＞5}\end{array}\right.$，函数的最小值为$\frac{19}{4}$，
当$\frac{19}{4}$＜m＜5时，函数：y=h（x）-φ（x）恰有4个零点，
故选B．

点评 本题考查了绝对值函数的化简与应用，同时考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．