Question

12．已知a_n=n²，c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，T_n为{c_n}的前n项和，求证：1≤T_n＜2．

Answer 1

分析 运用放缩法证明，当n＞1时，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，由裂项相消求和即可得证．

解答 证明：a_n=n²，C_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有T_n≥1，
当n＞1时，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
T_n＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
则有1≤T_n＜2．

点评 本题考查数列不等式的证明，考查放缩法和裂项相消求和，属于中档题．