Question

20、已知各项均为实数的数列{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且满足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若数列{a_n}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；
（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．

Answer 1

分析：（1）根据S₄=2S₂+8，利用等差数列的前n项和的公式列出方程，求出公差d即可；
（2）根据a₁大于0，小于0，等于0分三种情况，利用公差d=2及枚举法分别得到数列至多有多少项即可；
（3）根据（2）总结的项数最多时的结论，给a₁一个实数值，即可到底满足条件的一个数列．

解答：解：（1）根据题意可知：4a₁-6d=2（2a₁-d）+8，解得d=2；
（2）考虑到d=2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．
①当a₁=0时，0²+d+2d=0+2+4≤10，而0²+d+2d+3d=0+2+4+6＞10，此时，数列至多3项；
②当a₁＞0时，可得数列至多3项；
③当a₁＜0时，a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d≤10，即a₁²+3a₁+2≤0，△=1＞0，此时a₁有解．
而a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d≤10，即a₁²+4a₁+10≤0，△=-24＜0，此时a₁无解．
所以a₁＜0时，数列至多有4项．
（3）a₁=-1时，数列为：-1，1，3，5；或a₁=-2时，数列为：-2，0，2，4．

点评：考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，会利用枚举法解决实际问题．