Question

已知方程x²-2ax+b²=0的系数a在[0，2]内取值，b在[0，3]内取值，求使方程没有实根的概率．

Answer 1

分析：由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．

解答：解：∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6
设“方程f（x）=x²-2ax+b²=0没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6-

1

2

×2×2=4
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及几何概型的概率计算，属于中档题．