Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长AB=2，点E是棱C₁D₁的中点，则异面直线B₁E和BC₁所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：取CD的中点，连结BF、EF、C₁F，利用正方体的性质证出B₁E∥BF，从而得到∠FBC₁（或其补角）就是直线B₁E和BC₁所成的角．然后在△BFC₁中算出各条边的长，利用余弦定理加以计算，可得答案．

解答：解：取CD的中点，连结BF、EF、C₁F，
可得四边形BB₁EF是平行四边形，
∴B₁E∥BF，∠FBC₁（或其补角）就是直线B₁E和BC₁所成的角．
Rt△BCF中，BF=

BC 2+CF 2

=

5

，
同理得到C₁F=

5

，BC₁=2

2

．
在△BFC₁中，根据余弦定理可得cos∠FBC₁=

5+8-5

2× 5 ×2 2

=

10

5

．
即异面直线B₁E和BC₁所成的角的余弦值为

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小．着重考查了正方体的性质异面直线及其所成的角的求法等知识，属于中档题．