Question

如图，椭圆的两顶点为，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂．
（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF₂面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的方程求得a和b，c，进而求得焦点的坐标，表示出假设存在点C，使CF₁⊥CF₂，求得|OC|，令，利用求得λ的方程，解方程求得λ．
（2）设出P，Q的坐标，通过焦半径公式求得|PQ|的表达式，先看PQ⊥x轴时，则可求得x₁=x₂=-1进而求得△PQF₂面积；再看PQ与x轴不垂直时，设出PQ的方程，由点到直线的距离公式可得点F₂到PQ的距离表示出△PQF₂面积的表达式，利用基本不等式求得△PQF₂面积的范围，最后综合推断出△PQF₂面积的最大值．
解答：解：由已知可得椭圆的方程为，
且有：，F₁（-1，0），
F₂（1，0），．
（1）假设存在点C，使得CF₁⊥CF₂，
则：，
令（λ∈[0，1]），
而=
，
故有：，解得λ=1或．
所以点C的坐标为C（0，1）或．

（2）若设过F₁的直线l交椭圆于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由焦半径公式可得：，
当PQ⊥x轴时，x₁=x₂=-1，此时．
当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为y=k（x+1），（k＞0），
则由：得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故，
于是可得：．
又由点到直线的距离公式可得点F₂到PQ的距离，
故．
因为，
所以．
综上可知，当直线PQ⊥x轴时，△PQF₂的面积取到最大值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了运用解析几何的基础知识解决实际问题的能力．