Question

9．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E、F分别为侧棱BB₁、CC₁的中点，求四棱锥B-A₁EFD₁的体积．

Answer 1

分析 作BM⊥A₁E，交A₁E延长线于M，由已知条件求出四棱锥B-A₁EFD₁的高BM=1×cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出四棱锥B-A₁EFD₁的体积．

解答 解：作BM⊥A₁E，交A₁E延长线于M，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E、F分别为侧棱BB₁、CC₁的中点，
∴A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，
∵BM?平面ABB₁A₁，
∴BM⊥A₁D₁，∵A₁D₁∩A₁E=A，∴BM⊥平面A₁EFD₁，
∵A₁B₁=B₁E=BE=1，∴∠BEM=∠A₁EB₁=45°，∠BMC=90°，
∴四棱锥B-A₁EFD₁的高BM=1×cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{矩形{A}_{1}EF{D}_{1}}$=A₁E×A₁D₁=$\sqrt{1+1}$×1=$\sqrt{2}$，
∴四棱锥B-A₁EFD₁的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{矩形{A}_{1}EF{D}_{1}}×BM$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．