Question

17．已知实数a≠0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+a，x＜1}\\{-x-2a，x≥1}\end{array}\right.$，若f（1-a）=f（1+a），则以直线x=a为准线的抛物线的标准方程是y²=-6x．

Answer 1

分析 对a分类求出满足f（1-a）=f（1+a）的a的值，得到抛物线准线，由此求得以直线x=a为准线的抛物线的标准方程．

解答 解：∵实数a≠0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+a，x＜1}\\{-x-2a，x≥1}\end{array}\right.$，
①若a＞0，则1-a＜1，1+a＞1，又f（1-a）=f（1+a），
∴2（1-a）+a=-（1+a）+2a，解得a=$\frac{3}{2}$；
②若a＜0，则1-a＞1，1+a＜1，又f（1-a）=f（1+a），
∴2（1+a）+a=-（1-a）+2a，解得a无解；
∴a=$\frac{3}{2}$．
则以直线x=a为准线的抛物线的标准方程是y²=-6x．
故答案为：y²=-6x．

点评 本题考查分段函数的应用，考查了抛物线方程的求法，是中档题．