Question

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA+cosA=1-sin$\frac{A}{2}$．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若c²-a²=2b，且sinB=3cosC，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式得2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{A}{2}$=-sin$\frac{A}{2}$，由sin$\frac{A}{2}$≠0，可得
cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$=-$\frac{1}{2}$，可求cos（A+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，利用诱导公式可求sinA的值；
（Ⅱ）由c²-a²=2b＞0，可得：c＞a，A为锐角，由（1）可得sinA，cosA，由sinB=3cosC，可得tanC=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，从而可求cosC，sinC，sinB，利用正弦定理可求a=$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$，由余弦定理可解得：b²-2b-2abcosC=0，代入相关的值即可解得b的值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式整理得：2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$+1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-sin$\frac{A}{2}$，即2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-2sin²$\frac{A}{2}$=-sin$\frac{A}{2}$，
∵sin$\frac{A}{2}$≠0，
∴2cos$\frac{A}{2}$-2sin$\frac{A}{2}$=-1，即cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
整理得：$\sqrt{2}$（cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，即cos（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cos（A+$\frac{π}{2}$）=2cos²（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$）-1=-$\frac{3}{4}$，
则＞＞=-cos（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）∵c²-a²=2b＞0，可得：c＞a，A为锐角，由（1）可得sinA=$\frac{3}{4}$；
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{4}$cosC+$\frac{\sqrt{7}}{4}$sinC=3cosC，
∴可得：tanC=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，从而可求cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\sqrt{\frac{7}{88}}$，sinC=$\sqrt{\frac{81}{88}}$，
∴sinB=3$\sqrt{\frac{7}{88}}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$，
∵c²=a²+2b=a²+b²-2abcosC，解得：b²-2b-2abcosC=0，即：b²-2b-2×$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$×b×$\sqrt{\frac{7}{88}}$=0，
∴整理可得：b（$\frac{1}{2}$b-2）=0，解得：b=4或0（舍去）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．