分析 (Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式得2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-2sin2$\frac{A}{2}$=-sin$\frac{A}{2}$,由sin$\frac{A}{2}$≠0,可得
cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$=-$\frac{1}{2}$,可求cos(A+$\frac{π}{2}$)=-$\frac{3}{4}$,利用诱导公式可求sinA的值;
(Ⅱ)由c2-a2=2b>0,可得:c>a,A为锐角,由(1)可得sinA,cosA,由sinB=3cosC,可得tanC=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$,从而可求cosC,sinC,sinB,利用正弦定理可求a=$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$,由余弦定理可解得:b2-2b-2abcosC=0,代入相关的值即可解得b的值.
解答 解:(Ⅰ)已知等式整理得:2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$+1-2sin2$\frac{A}{2}$=1-sin$\frac{A}{2}$,即2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-2sin2$\frac{A}{2}$=-sin$\frac{A}{2}$,
∵sin$\frac{A}{2}$≠0,
∴2cos$\frac{A}{2}$-2sin$\frac{A}{2}$=-1,即cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$=-$\frac{1}{2}$,
整理得:$\sqrt{2}$(cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{π}{4}$)=-$\frac{1}{2}$,即cos($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴cos(A+$\frac{π}{2}$)=2cos2($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{4}$)-1=-$\frac{3}{4}$,
则>>=-cos(A+$\frac{π}{2}$)=$\frac{3}{4}$;
(Ⅱ)∵c2-a2=2b>0,可得:c>a,A为锐角,由(1)可得sinA=$\frac{3}{4}$;
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{4}$cosC+$\frac{\sqrt{7}}{4}$sinC=3cosC,
∴可得:tanC=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$,从而可求cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\sqrt{\frac{7}{88}}$,sinC=$\sqrt{\frac{81}{88}}$,
∴sinB=3$\sqrt{\frac{7}{88}}$,
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$,
∵c2=a2+2b=a2+b2-2abcosC,解得:b2-2b-2abcosC=0,即:b2-2b-2×$\frac{\frac{3b}{4}}{3\sqrt{\frac{7}{88}}}$×b×$\sqrt{\frac{7}{88}}$=0,
∴整理可得:b($\frac{1}{2}$b-2)=0,解得:b=4或0(舍去).
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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