Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积为$\frac{9}{4}$，底面是边长为$\sqrt{3}$．若P为底面ABC的中心，则PA₁与平面BB₁P所成角的正切值大小为（　　）

• A． $\frac{1}{36}$
• B． $\frac{3}{109}$
• C． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$
• D． $\frac{1}{18}$

Answer 1

分析 延长BP交AC于O，取A₁C₁中点D，连接OD，容易得到BO，OC，OD三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，而根据条件可求出向量$\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}$的坐标．并可说明$\overrightarrow{OC}$为平面BB₁P的法向量，设直线PA₁和平面BB₁P所成角为θ，由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}＞|$求出sinθ，从而可得出tanθ．

解答 解：如图，延长BP交AC于O，则BO⊥AC，取A₁C₁中点D，连接OD，则BO，OC，OD三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系；
根据条件，∴${S}_{△}ABC=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}•OD=\frac{9}{4}$，$OD=\sqrt{3}$；
∴可求以下几点坐标：
P（$-\frac{1}{2}，0，0$），${A}_{1}（0，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$，$C（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$；
∴$\overrightarrow{P{A}_{1}}=（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OC}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）；
BB₁⊥平面ABC，OC?平面ABC；
∴OC⊥BB₁；
又OC⊥BO，BO∩BB₁=B；
∴OC⊥平面BB₁P；
∴$\overrightarrow{OC}$为平面BB₁P的法向量，设直线PA₁和平面BB₁P所成角为θ，则：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{P{A}_{1}}，\overrightarrow{OC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{P{A}_{1}}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{\frac{3}{4}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴cosθ=$\frac{\sqrt{13}}{4}$；
∴$tanθ=\frac{\sqrt{39}}{13}$；
∴PA₁与平面BB₁P所成角的正切大小为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故选：C．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，线面垂直的性质及判定定理，平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系．