【题目】如图,已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中,侧棱与底面垂直,AB=BC=AA1 , ∠ABC=90°,M是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面AMC1;
(2)求平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:连结A1C,交AC1于点O,连结OM,
∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点,
又∵M为BC中点,∴OM为△A1BC中位线,
∴A1B∥OM,
∵OM平面AMC1,A1B平面AMC1,
∴A1B∥平面AMC1.
(2)解:∵三棱柱A1B1C1﹣ABC中,侧棱与底面垂直,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,M是BC的中点,
∴以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,
设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,2),A1(0,2,2),
则 =(1,﹣2,0), =(2,﹣2,2),
=(0,﹣2,0), =(1,0,﹣2),
=(0,﹣2,0), =(1,0,﹣2),
设平面AMC1的法向量为 =(x,y,z),
则 ,取y=1,得 =(2,1,﹣1),
设平面A1B1M的法向量 =(a,b,c),
则 ,取c=1,得 =(2,0,1),
cos< >= = = ,
∴平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值为
【解析】(1)连结A1C,交AC1于点O,连结OM,则A1B∥OM,由此能证明A1B∥平面AMC1 . (2)以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列是公差为2的等差数列,数列满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设数列满足,数列的前n项和为,若不等式
对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=|2x﹣ |+|2x+m|(m≠0).
(1)证明:f(x)≥2 ;
(2)若当m=2时,关于实数x的不等式f(x)≥t2﹣ t恒成立,求实数t的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ccosB=(2a+b)cos(π﹣C).
(1)求角C的大小;
(2)若c=4,△ABC的面积为 ,求a+b的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点.下列命题正确的为_______________.
①存在点,使得//平面;
②对于任意的点,平面平面;
③存在点,使得平面;
④对于任意的点,四棱锥的体积均不变.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知圆O的内接四边形BCED,BC为圆O的直径,BC=2,延长CB,ED交于A点,使得∠DOB=∠ECA,过A作圆O的切线,切点为P,
(1)求证:BD=DE;
(2)若∠ECA=45°,求AP2的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}(n=1,2,3,…)满足an+1=2an , 且a1 , a2+1,a3成等差数列,设bn=3log2an﹣7.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com