已知、为椭圆的左、右焦点,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
(1);(2)当不存在时圆面积最大, ,此时直线方程为.
【解析】
试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式、三角形面积公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,先设出椭圆的标准方程,利用椭圆的定义列出,解出和的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,假设直线的斜率存在,设出直线方程与椭圆方程联立,消参得出关于的方程,得到两根之和、两根之积,求出的面积,面积之和内切圆的半径有关,所以当的面积最大时,内切圆面积最大,换一种形式求的面积,利用换元法和配方法求出面积的最大值,而直线的斜率不存在时,易求出和圆面积,经过比较,当不存在时圆面积最大.
试题解析:(Ⅰ)由已知,可设椭圆的方程为,
因为,所以,,
所以,椭圆的方程为 4分
(也可用待定系数法,或用)
(2)当直线斜率存在时,设直线:,由得,
设,, 6分
所以,
设内切圆半径为,因为的周长为(定值),,
所以当的面积最大时,内切圆面积最大,又, 8分
令,则,所以 10分
又当不存在时,,此时,
故当不存在时圆面积最大, ,此时直线方程为. 12分
(也可以设直线,避免对的讨论,参照以上解法,按相应步骤给分)
考点:1.椭圆的标准方程;2.直线的方程;3.韦达定理;4.三角形面积公式;5.配方法求函数的最值.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省石家庄高三上学期调研考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知、为椭圆的左、右焦点,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河北省高三第三次模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且
(1)求点的坐标;
(2)设点与点关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值
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科目:高中数学 来源:2014届广西柳州铁路一中高二上学期第一次月考数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知分别为椭圆的左、右顶点,点,直线:与轴交于点D,与直线AC交于点P.若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2013届福建省高二第一学期期末考试理科数学试卷 题型:解答题
已知分别为椭圆的左、右两个焦点,一条直线经过点与椭圆交于两点, 且的周长为8。
(1)求实数的值;
(2)若的倾斜角为,求的值。
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