Question

如图，已知四棱锥P-ABCD．
（1）若底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PA=PD，求证：PB⊥AD；
（2）若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：AP∥FG．

Answer 1

分析：（1）证明线线垂直，只需证明线面垂直，即证AD⊥面PBH；
（2）利用线面平行的判定，证明线面平行，再利用线面平行证明线线平行．

解答：证明：（1）取AD的中点为H，连接BH，PH
∵PA=PD，∴PH⊥AD
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，得BH⊥AD
∵PH?面PBH，BH?面PBH，PH∩BH=H，
∴AD⊥面PBH
∵PB?面PBH，∴PB⊥AD；
（2）连AC，设AC与BD交点为O，连OE
在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，点E是PC的中点，所以OE∥AP
因为AP?面BDE，OE?面BDE，所以AP∥面BDE
因为AP?面APFG，面APFG∩面BDE=FG
所以AP∥FG

点评：本题考查线线垂直，线线平行，解题的关键是证明线面垂直、线面平行，属于中档题．