Question

在四面体ABCD中，已知AB=4，AC=4，AD=2，且AB、AC、AD两两所成角为60°，则四面体ABCD的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设B在平面ACD中的射影为O，利用AB、AC、AD两两所成角为60°，可得cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，从而求出cos∠BAO=

3

3

，可得sin∠BAO，进而求出高BO，再求出底面积，即可求出四面体ABCD的体积．

解答： 解：设B在平面ACD中的射影为O，则
∵AB、AC、AD两两所成角为60°，
∴cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，
∴cos60°=cos∠BAOcos30°，
∴cos∠BAO=

3

3

，
∴sin∠BAO=

6

3

，
∴BO=ABsin∠BAO=

4 6

3

，
∵AC=4，AD=2，∠DAC=60°，
∴S_△ACD=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，
∴V_ABCD=

1

3

×2

3

×

4 6

3

=

8 2

3

．
故答案为：

8 2

3

．

点评：本题考查四面体ABCD的体积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的高是关键．