【题目】如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)当二面角的大小为时,
试判断点在上的位置,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)点是的中点.
【解析】
(Ⅰ)解法一:由四棱锥的侧面都是等边三角形,可得,再由O为底面中心,可得,,由线面垂直的判定可得,从而得到平平面平面;
解法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量证明即可;
(Ⅱ)这是一个一个二面角为条件,写出点的位置,做法同求两个平面的夹角一样,设出求出法向量,根据两个向量的夹角得到点要满足的条件,求出点的位置.
证明:(Ⅰ)解法一:
由已知可得,,是中点,所以.
又因为四边形是正方形,所以.
因为,所以.
又因为,所以平面平面.
解法二:证明:由(Ⅰ)知,.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2,
则,,,,,.
所以,.
设(),由已知可求得.
所以,.
设平面法向量为,
则 即
令,得.
易知是平面的法向量.
因为,
所以,所以平面平面.
(Ⅱ)解:设(),由(Ⅱ)可知,
平面法向量为.
因为,
所以是平面的一个法向量.
由已知二面角的大小为.
所以,
所以,解得.
所以点是的中点.
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【题目】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为,
,消去参数可知曲线是圆心为,半径为的圆,由直线与曲线相切,可得: ;则曲线C的方程为, 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
可得曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
由此可求面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为,
曲线是圆心为,半径为的圆,直线与曲线相切,可得: ;可知曲线C的方程为,
所以曲线C的极坐标方程为,
即.
(2)由(1)不妨设M(),,(),
,
,
当 时, ,
所以△MON面积的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】已知函数的定义域为;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最大值,若实数, , 满足,求的最小值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , Sn=n2+n.
(Ⅰ)求{an}的通项公式an;
(Ⅱ)若ak+1 , a2k , a2k+3(k∈N*)恰好依次为等比数列{bn}的第一、第二、第三项,求数列{ }的前n项和Tn .
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【题目】已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
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【题目】已知函数,x∈(b﹣3,2b)是奇函数,
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数且f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.
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【题目】一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2012个圈中的●的个数是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P,己知∠PAB=25°.
(1)若BC是⊙O的直径,求∠D的大小;
(2)若∠DAE=25°,求证:DA2=DCBP.
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