Question

（2010•河西区二模）一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A₁B，B₁C₁的中点；
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用BC⊥平面ACC₁A₁，可得BC⊥AC₁，在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁，利用线面垂直的判定定理可得AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）直线AC₁与A₁C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC₁是直线BC₁和平面A₁BC所成角，从而可求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA₁⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁=a，
连接AC₁，AB₁，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
∵BC∩A₁C=C
∴AC₁⊥平面A₁BC；  
（Ⅱ）设直线AC₁与A₁C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC₁是直线BC₁和平面A₁BC所成角
∵BC⊥QC，BC=a，CQ=

2

2

a
∴BQ=

a2+ 1 2 a2

=

3

2

a
∵BC1=

2

a，AC1⊥BQ
∴在直角△QBC₁中，∠QBC₁=30°

点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．