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(1).已知函数y=x+
16
x+2
(x>-2),求此函数的最小值.
(2)已知x<
5
4
,求y=4x-1+
1
4x-5
的最大值;
(3)已知x>0,y>0,且5x+7y=20,求xy的最大值;
(4)已知x,y∈R+且x+2y=1,求
1
x
+
1
y
的最小值.
分析:当题中遇到形如a+
1
a
的结构或ab与a+b的互化问题时基本不等式是解决问题较好的方法,所以本题可以尝试用基本不等式解题.
(1)函数可化为:y=x+
16
x+2
=(x+2)+
16
x+2
-2
(2)函数可化为:y=4x-1+
1
4x-5
=(4x-5)+
1
4x-5
+4(需注意x<
5
4
时,4x-5<0所以要变号)
(3)20=5x+7y≥2
(5x)×(7y)
,则xy≤
400
4×35
=
20
7

(4)因为x,y∈R+且x+2y=1,所以
1
x
+
1
y
=(
1
x
+
1
y
)(x+2y)=3+
2y
x
+
x
y
≥2
2y
x
×
x
y
+3=3+2
2
解答:解:(1)函数y=x+
16
x+2
=(x+2)+
16
x+2
-2≥2
(x+2)×
16
x+2
-2
=6,
当且仅当x+2=
16
x+2
时等号成立,即x=2时取最小值为6(x>-2)
(2)))∵x<
5
4
∴4x-5<0
∴y=4x-1+
1
4x-5
=(4x-5)+
1
4x-5
+4
=-[-(4x-5)-
1
4x-5
]+4≤-2
(5-4x)×
1
5-4x
+4=2
当且仅当4x-5=
1
4x-5
时等号成立,即x=1时取最大值为2.
(3)已知x>0,y>0,且5x+7y=20∴20=5x+7y≥2
(5x)×(7y)
;∴xy≤
400
4×35
=
20
7

当且仅当5x=7y时等号成立,即x=2,y=
10
7
时取最大值为
20
7

(4)
1
x
+
1
y
=(
1
x
+
1
y
)(x+2y)=3+
2y
x
+
x
y
≥2
2y
x
×
x
y
+3=3+2
2
x=
2
-1,y=1-
2
2
),
当且仅当
2y
x
=
x
y
时等号成立,即x=
2
-1,y=1-
2
2
时取最大值为3+2
2
点评:基本不等式a+b≥2
ab
;,(a>0,b>0)是不等式问题中考查的重点之一,在用基本不等式求最值时要注意以下几点:
1、正:即a>0,b>0,2、定:即a+b或ab是定值,3、等:即当且仅当a=b时等号成立,能取到最值.
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