Question

(2007湖南，19)如图所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且，点P到平面α的距离PH=0.4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时，其造价为万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小：

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点、，使沿折线修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价，证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如图PH⊥α，，PB⊥AB，由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡面与α所成二面角的平面角，则∠PBH=θ，． 设BD=x(km)，0≤x≤1.5，则．记总造价为万元．据题设有 当，即时总造价最小． (2)设AE=y(km)，，总造价为万元，根据题设有． 则，由，得y=1． 当时，，在(0，1)内是减函数； 当时，，在内是增函数． 故当y=1，即AE=1(km)时总造价最小，且最小总造价为万元． (3)不存在这样的点、．事实上，在AB上任取不同的两点、．为使总造价最小，显然不能位于与B之间．故可设位于与A之间，且，，，总造价为S万元，则．类似于(1)(2)的讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，S取得最小值，点、分别与点D、E重合．所以不存在这样的点、，使沿折线修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价．