Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）如果N是棱AB上一点，且三棱锥N-BMC的体积为$\frac{1}{3}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，推导出AB⊥AC，PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）设$\frac{BN}{AB}=x$，由${V_{N-BMC}}={V_{M-BNC}}=x{V_{M-ABC}}=\frac{x}{2}{V_{M-ABCD}}=\frac{x}{4}{V_{P-ABCD}}$，能求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 证明：（1）连结AC，因为在△ABC中，$AB=AC=2，BC=2\sqrt{2}$，
所以BC²=AB²+AC²，
所以AB⊥AC．因为AB∥CD，所以AC⊥CD．
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC…（5分）
解：（2）设$\frac{BN}{AB}=x$，因为PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，
所以${V_{N-BMC}}={V_{M-BNC}}=x{V_{M-ABC}}=\frac{x}{2}{V_{M-ABCD}}=\frac{x}{4}{V_{P-ABCD}}$，
∴${V_{N-BMC}}=\frac{x}{4}×\frac{1}{3}×（{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}）×2=\frac{1}{3}$，
解得$x=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AN}{NB}=1$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．