Question

如果实系数a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂都是非零常数．
（1）设不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分别为A和B，试问 是A=B的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过举反例判断出 推不出A=B，反之A=B也推不出 ，根据充要条件的有关定义得到结论．
（2）通过举反例判断出 A=B，推不出两个方程的系数之间有关系，反之当两个方程的系数对应成比例，两个方程式同解方程，利用充要条件的有关定义得到结结论．
（3）两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证；由韦达定理可以证明必要性．
解答：解：（1）若 a=b=c=1，a₁=b₁=c₁=-1，则A≠B      …（2分）                      
若 A=B=Φ，则两个不等式的系数之间没有关系． …（4分）
 是A=B的既不充分也不必要条件．         …（6分）
（2）若 A=B=Φ，则两个方程的系数之间没有关系． …（8分）
    由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程．…（10分
是A=B的充分也不必要条件 …（12分）
（3）是A=B的充要条件                     …（14分）
由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．…（16分）
由韦达定理可以证明必要性．…（18分）
点评：本题考查判断应该命题是另一个命题的什么条件，应该两边互推，然后利用充要条件的有关定义加以判断；考查二次不等式，二次方程的解法．