Question

【题目】如图1，已知正方体的棱长为，为棱的中点，分别是线段，，上的点，若三棱锥的俯视图如图2，则三棱锥的体积最大值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

通过俯视图可确定M，Q为所在棱中点，由线面关系可确定当N与C重合时，N到平面PQM的距离最大．由截面图形ACC1A1中的线线关系可知CE，再求出三角形PQM的面积，代入棱锥体积公式求解．

由俯视图知，M为A1D1的中点，Q为A1B1的中点，N为CC1上任意一点，

如图1所示：由中位线可知：PQ∥AB1，MP∥AD1，且，，

∴平面PMQ∥平面AB1D1，由正方体中线面关系可知：A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面PMQ，

∴当N与C重合，点N到平面PMQ的距离最大，截面ACC1A1如图2所示，其中平面ACC1A1∩平面PMQ＝PS，

平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AT，则，∴CE＝，

又A1C＝，∴最大值为CE＝A1C＝＝．

又，∴三棱锥P﹣MNQ的体积最大值为．

故选：D．

图1 图2