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14.已知二次函数f(x)满足f(0)=1且f(x+1)-f(x)=2x+2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式; 
(Ⅱ)若g(x)=2f(x),x∈[-1,1],求g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,由f(x+1)-f(x)=2x+2,得2ax+a+b=2x+2,解方程组求出a,b的值,从而求出函数的解析式;
(Ⅱ)f(x)=x2+x+1的图象是开口朝上,且以直线x=-$\frac{1}{2}$的抛物线,先求出f(x),x∈[-1,1]的最值,进而可得g(x),x∈[-1,1]的最值,进而得到答案.

解答 解:(Ⅰ)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,
故f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)-f(x)=2x+2,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x+2.
即2ax+a+b=2x+2,
∴2a=a+b=2,解得:a=1,b=1,
∴f(x)=x2+x+1
(Ⅱ)f(x)=x2+x+1的图象是开口朝上,且以直线x=-$\frac{1}{2}$的抛物线,
由x∈[-1,1]得:
当x=-$\frac{1}{2}$时,f(x)取最小值$\frac{3}{4}$,此时g(x)=2f(x)取最小值$\root{4}{8}$,
当x=1时,f(x)取最大值3,此时g(x)=2f(x)取最大值8,
故g(x)的值域为[$\root{4}{8}$,8]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.

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