如图.在半径为R.圆心角为π3的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF.并且EP与∠AOB的平分线OC平行.设∠POC=θ．(1)试写出用θ表示长方形EPQF的面积S(θ)的函数．(2)现用EP和FQ作为母线并焊接起来.将长方形EFPQ制成圆柱的侧面.能否从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面?如果不能请说明理由．如果可能.求出侧面积最大时容器的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在半径为R、圆心角为

的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数．
（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由．如果可能，求出侧面积最大时容器的体积．

分析：（1）求长方形EPQF的面积，在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ；易得PC，OC；从而求得EF，EP；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时θ=

；
当θ=

时，求出圆柱体的体积即可．

解答：解：如图，（1）在长方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•

=Rcosθ-

Rsinθ；
所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-

Rsinθ）．

（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r_底=

Rsinθ

，
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r_内=

Rsinθ，而

Rsinθ＞

Rsinθ

，即r_内＞r_底；
所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
S（θ）=2R²sinθcosθ-2

R²sin²θ
=R²•sin2θ-

•R²•（1-cos2θ）
=R²•（sin2θ+

cos2θ）-

R2
=R²•2sin(2θ+

R2，(0＜θ＜

)；
当2θ+

，即θ=

时，侧面积S（θ）取得最大值，
此时圆柱的体积为：V=S_底•h=π•(

Rsinθ

)2•(R•cosθ-

R•sinθ )
=

•sinθ²•(cosθ-

sinθ)=

•

1-cos2θ

•2cos(θ+

)
=

•

1-cos

•2cos

5π

•

•2•

-5

) R3

8π

．

点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，是易错题．

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