Question

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=

1 6-x ，1≤x≤c 2 3 ，     x＞c

（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

Answer 1

分析：（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×2-日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；
（2）利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．

解答：解：（1）当x＞c时，P=

2

3

，
∴T=

1

3

x•2-

2

3

x•1=0
当1≤x≤c时，P=

1

6-x

，
∴T=(1-

1

6-x

)•x•2-(

1

6-x

)•x•1=

9x-2x2

6-x

综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：
T=

9x-2x2 6-x ，  1≤x≤c  0，     x＞c

（2）由（1）知，当x＞c时，每天的盈利额为0
当1≤x≤c时，T=

9x-2x2

6-x

=15-2[（6-x）+

9

6-x

]≤15-12=3
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时，T_max=3，，此时x=3
②当1≤c≤3时，由T′=

2x2-24x+54

(6-x)2

=

2(x-3)(x-9)

(6-x)2

知
函数T=

9x-2x2

6-x

在[1，3]上递增，Tmax=

9c-2c2

6-c

，此时x=c
综上，若3≤c≤6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若1≤c≤3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润

点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，分类讨论思想．是中档题．