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已知函数
(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(II)若对任意a∈[-1,1],f(x)>4恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】分析:(I)先把问题转化为x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x,x∈[1,+∞)恒成立,然后求出不等式右边的最大值即可求出实数a的取值范围;
(II)先把问题转化为x2-2x+a>0对a∈[-1,1]恒成立,再把g(a)=a+(x2-2x)看成a的一次函数,找到g(a)>0对a∈[-1,1]恒成立的条件,解之即可求实数x的取值范围.
解答:解:(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
恒成立,
亦即x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立,
即a>-x2-2x,x∈[1,+∞)恒成立,
即a>(-x2-2x)max,x∈[1,+∞),
而(-x2-2x)max=-3,x∈[1,+∞),
∴a>-3.
所以对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,实数a的取值范围为{a|a>-3};(6分)
(II)∵a∈[-1,1]时,f(x)>4恒成立,恒成立;
∴x2-2x+a>0对a∈[-1,1]恒成立,
把g(a)=a+(x2-2x)看成a的一次函数,
则使g(a)>0对a∈[-1,1]恒成立的条件是
又x≥1,∴(12分)
点评:本题主要考查函数恒成立问题以及转化思想的应用和计算能力,属于对知识和思想方法的综合考查,属于中档题.
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