Question

已知f（x）=

1 x+2 ，-1≤x≤0 x2-2x，0＜x≤1

若f（n-m）≤f（2m-n），则m+n的最小值是（　　）

• A、-5
• B、2
• C、5
• D、-2

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：判断分段函数的单调性，分别考虑各段的单调性及分界点x=0，得到不等式组，画出它们表示的平面区域，作出目标函数表示的直线，平移即可得到最小值．

解答： 解：当-1≤x≤0时，y=

1

x+2

递减，
且x=0时，y=

1

2

，
当0＜x≤1时，y=x²-2x=（x-1）²-1，单调递减，
当x→0时，y→0＜

1

2

，
则有函数f（x）在[-1，1]上递减，
则f（n-m）≤f（2m-n），
即为

-1≤n-m≤1 -1≤2m-n≤1 n-m≥2m-n

，
在平面直角坐标系mOn中，作出不等式组表示的区域如图阴影部分，
由3m=2n和n=m-1，2m-n=-1可得交点B（-2，-3）．
作出直线l：m+n=0，将l平移至B（-2，-3），可得最小值-5．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运用不等式组表示的平面区域，求线性函数的最值的方法，考查数形结合的思想方法，属于中档题．