Question

1．设F₁，F₂分别为双曲线C的左右焦点，直线l过F₂且与C的右支交于A，B两点，若△F₁AB为直角三角形，且|F₁A|，|AB|，|F₁B|成等差数列，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 求出|AB|=4a，|AF₁|=3a，|AF₂|=a，由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设|AF₂|=m，|BF₂|=n，
由|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
同理|BF₁|=2a+n，
∵|F₁A|，|AB|，|F₁B|成等差数列，
∴2|AB|=|F₁A|+|F₁B|，
∴2（m+n）=4a+m+n，
∴|AB|=m+n=4a，
设|F₁A|＜|F₁B|，则∠F₁AB=90°，
∴（2a+m）²+16a²=（2a+n）²，
∴m=a，n=3a，
∴|AF₁|=3a，
∴4c²=9a²+a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．