Question

11．已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意a、b∈R，都有f（ab）=f（a）+f（b），且当x＞1时，f（x）＞0恒成立．
（1）求证f（1）=0，
（2）证明：y=f（x）是（0，+∞）上的增函数；
（3）求不等式f（x+1）＜f（2-3x）的解集．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）；
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答 解：（1）令a=b=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）设x₁＜x₂，则
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（ab）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内是增函数．
（3）∵y=f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴不等式f（x+1）＜f（2-3x）等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{2-3x＞0}\\{x+1＜2-3x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜\frac{2}{3}}\\{x＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{1}{4}$，
即不等式的解集为（-1，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．