Question

【题目】已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an﹣n+1，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+an﹣n．
（1）证明：{an﹣n}为等比数列；
（2）数列{cn}满足 ，求数列{cn}的前n项和Tn ， 求证：Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=2an﹣n+1，∴an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），即bn+1=2bn．

∵a1﹣1=2，∴{an﹣n}是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）解：由（1）可得：bn=an﹣n=2n．

∴ = = ﹣ ．

∴Tn= + +…+

=

【解析】（1）an+1=2an﹣n+1，可得an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），即bn+1=2bn．即可证明．（2）由（1）可得：bn=an﹣n=2n．可得 = = ﹣ ．利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．
【考点精析】通过灵活运用等比关系的确定和数列的前n项和，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．